大家好，我是莉楠，欢迎收看线性代数习题课。
很高兴，能为大家讲解第一节习题课。
我们在第一节课中学习了很多重要的概念， 我们学习了如何在不同的视点下，来观察一个线性方程组。
主要有行视点、列视点， 还有在矩阵的意义下，来求解一个线性方程组。
那么今天我们将用一个比较简单的例子，来复习这些概念。
你对其中一些概念可能已经比较熟悉， 但是另外一些概念可能是比较新的内容。
我们来一起看这个简单的2乘2线性方程组，
这里我们有两个方程，两个未知数X与Y，
我们要找到X和Y，使得这两个方程同时成立。
我要你们先做的是求解这个方程组， 你可以看到这个方程组其实非常简单。
但是更重要的是，我希望你们能利用这个方程组来 复习在课堂上所学的行视点与列视点，
你可以在一个XY坐标系中画出你的答案。
现在请你暂停这个视频，随后我将回来 讲解如何找到行视点与列视点，一会儿再见。
好，欢迎回来。
我们先来一起求解这个线性方程组。
那么你常用的求解方法是哪一种呢？你当然可以用替换法，
也就是将X写成关于Y的一个公式，再替换到另外一个方程中。
我们来利用第二个方程，将X写成Y的公式。
那么由第二个方程，你可以看到X=2Y-1，
再将 这个式子替换到第一个方程中，
就得出2倍的X替换成 2倍Y减去1，2（2Y-1)
再加上Y等于3， 这样你得到了一个只关于Y的方程。
简化这个方程，你可以看到，
这里是5Y，5Y-2=3，
也就是说Y=1。
如果Y=1的话，再根据这个式子，我们可以看到X
也等于1。你可以看到这个解非常简单。
这组线性方程的解就是X=Y=1
那么下面我们来关注一下，如何在行视点和列视点下 观察这个线性方程组。好，
我们要在这个XY坐标系中先画出这个线性方程组所对应的行视点，
所谓行视点，就是说我们要逐行考虑这个线性方程组，
这里是第一行，这里是第二行，
那么如果只看第一行的话， 这给出一个什么东西呢？
你可以看到，XY是两个变量，那么要满足2X+Y=3，
你可以看到这个方程，实际上给出了XY平面中的一条直线，
我们现在要把这条直线画在坐标系中，如何来确定这条直线呢？
最简单的办法就是找到直线上的两点， 将两点连接的话，我们就得到了唯一一条直线。
要找到这两点的话，我们可以将X设成两个任意的值。
为方便起见，先将X设成 0，如果X是0的话，Y应为3，也就是说
这条直线肯定要经过这一点，X是0，Y是3，
再来把X设成1， 如果X是1的话，那么Y也为1，
也就是说这条直线还应该经过这一点。
这样的话，我们就有了直线上的两点。
将它们连接的话，我们就得到那条直线。
这就是 经过这两点的直线，也就是由这个方程给出。
2X+Y=3
这是第一条直线，也就是第一行。下面来看第二行， 第二行是X-2Y=-1
同样它也给出了XY平面上的一条直线。
同理，将X设成0，我们看到X=0时，Y应等于
1/2，也就是说，第二条直线应经过这一点，X是0 Y为1/2。再来将X
设成1，如果X=1的话，Y也等于 1， 就说明这条直线还应该经过这一点。
将这两点连接的话，我们就得到了第二条直线。
这就是第二条直线，方程由X-2Y 等于-1。
这就是第二行。
你可以看到在行视点下，第一行给出一条直线， 第二行又给出另外一条直线。那么将两个方程放在一起
的话，我们实际上是要找到这两条直线的交点。
因为我们希望找到XY，使得那一点同时在 第一条与第二条直线上，很显然这一点。
解应由这一点相交点的坐标给出， 那么根据前面的计算，我们知道这一点的坐标应该是（1，1）。
同样在我们画出两条直线的过程中，我们也 注意到了两条直线都经过这个（1，1）点。
好，这就是行视点下观察这个线性方程组。
它是两条直线相交于解所在的点。
下面来看列视点下， 我们应该得到一个什么样的图片。
既然叫做 列视点，那我们需要找到这个列在哪里？
现在我们来观察这个线性方程组，我们
先关注X，每个方程中X前 的系数，那么第一个方程中X前的系数是2，
第二个方程中X之前的系数是1，
我们把它放在一起，作为一个 平面中的列向量记为V1，
这就是X前，两个方程中X前的系数。
同样的我们来关注Y前面的系数， 在第一个方程中Y前的系数是1，
第二个方程中Y前的系数是-2， 把它们放在一起，记做列向量V2。
每个方程中，X前
系数由这个列向量给出，那么我们可以想象， 把X看成这个列向量的系数，
同样我们把Y看成这个列向量V2的系数。
现在，这个线性方程组的左边应该写成什么呢？
你可以看到，我们实际上就是把这两项 加了起来，这就是线性方程组的左侧。
那么右侧 也就是把两个常数放在一起作为一个列向量。
3和1。这就给出了线性方程组的右侧。
所以实际上我们做的就是把 X倍的V1加上Y倍的V2，
要找到合适的系数X和Y，使得这个和 由向量3、-1给出。
好，下面我们来完成这个图片。
我们要把V1和V2画在这个XY坐标中。V1是2、1， 所以V1大概在这里。
这是V1
V2是1和-2，1和-2。
这就是V2， 正如我们所说的，我们要找到合适的系数XY
使得这项与这项相加，就给出了这个常数向量。
那么你通过前面的求解， 可以看出X和Y应同时被取为1，
也就是说，这里我们要把1份的V1，
加到1份的V2上，我们要求V1与V2的和。
在这个图片中，如何来表示V1与V2的和呢？ 我们现在是要求解两个向量的和。
那么我们要做的是将两个向量所张成的平行四边形画出。
在这个平行四边形上，对角线上的向量，
就是这两个向量的和，就是这个向量。
我们来验证这个向量是否等于这个常数向量呢？
我们是把1倍的V2加到1倍的V1上，你可以分别检验两个坐标。
X坐标2加上1等于3， 这是2+1=3，
Y坐标是1-2=-1。
1-2=-1，好，这就是
列视点下，和该线性方程组所对应的图片。
我们是将1倍的V1与1倍的V2相加，结果得到这个常向量。
3、-1，那么这个系数，1、1，来自于 之前我们的求解，也同样来自于行视点下的图片。
好，这就是和这个例题相关的行视点和列视点。
在结束之前，我还来介绍一下，如何在矩阵的形式下来观察这个线性方程组。
这里我们应该关注哪一个矩阵呢？ 现在我要把这个向量V1和V2放在一起，
作为列向量，所得的 矩阵记为A，这就是我们所要关注的矩阵。
展开的话，应为2、1，1、-2。
在这样考虑下，我们可以如何改写这个线性方程组呢？
或者说我们应该如何改写这个等号左侧呢？
实际上等号左侧就变为矩阵A，
乘以向量X和Y。
我把两个未知数X和Y放在一起作为一个向量，
这就变成了线性方程组的等号左侧。
那么右侧就应该是3、-1，
在我们将来的一些课程中，我们会学习
如何直接求解这个方程，你看到的是一个矩阵乘以一个向量，等于另外一个常向量。
我们将学习如何可以一次性求解这个未知向量的方法， 其实他的想法与对于
数字方程进行求解的想法是一致的。
假如说我们有数字方程ax=b， a、b
已知，但X未知，如果a在不等于0的情况下，
我们知道这个解就很简单的由b除以a给出。
你可以写成a的逆，再乘以b。
这里的想法是一样的，我们要找到另外一个矩阵，通常记为A的逆，
使得A的逆乘以A，会给出一个单位
矩阵，1、0，0、1，
在这个矩阵逆存在的情况下， 这个解，未知向量X、Y就可以
直接由A矩阵的逆乘以常数向量3、-1给出，
在随后的课程中， 我们将学习如何求解矩阵A的逆，
并如何计算矩阵A的逆与这个常数向量的乘积，
但是这里，今天我将停在这里。
我希望这个例题对你们有所帮助，也希望你们可以进行
更多的练习，来尽快熟悉，这个列视点下的图片， 好，感谢收看，希望下次再见。
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